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人教A版高中数学必修二PPT课件下载:4.1.1 圆的标准方程

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宁夏*罗中学人教A版高中数学必修二 课件: 4.1.1 圆的标准方程

4.1.1圆的标准方程

宁夏*罗中学人教A版高中数学必修二 课件: 4.1.1 圆的标准方程

*罗中学 石占军

宁夏*罗中学人教A版高中数学必修二 课件: 4.1.1 圆的标准方程
一、圆的标准方程

圆的定义:
*面内到定点的距离等于定长的点的集合。

定点

圆心

·r
C

定长 半径

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求:圆心是C(a,b),半径是r 的圆的方程

y M
r

解:设M (x , y)是圆上任意一点, 由题意可得 MC r

C

由两点间的距离公式得

O

x

(xa)2(yb)2r

(xa)2(yb)2r2

圆的标准方程:圆心为C(a,b),半径是r 的圆的方程

特点:明确给出了圆心坐标和半径。 特别地,若圆心在原点则圆的方程为x2 + y2=r 2

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特殊位置的圆的方程:

圆心在原点:

x2 + y2 = r2 (r≠0)

圆心在x轴上:

(x a)2 + y2 = r2 (r≠0)

圆心在y轴上:

x2+ (y b)2 = r2 (r≠0)

圆过原点: (x a)2 + (y-b)2 = a2+b2 (a2+b2≠0)

圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数, 因此必须具备三个独立的条件才能确定圆.

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练*一
1、写出下列各圆的方程:
(1)圆心在原点,半径是3

x2+y2 =9

(2)圆心在点C( 3 , 4 ), 半径是 5

(x-3)2+(y-4)2=5

(3)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3) x82y3225

2、写出下列各圆的圆心坐标和半径:

(1) (x-1)2 + y2 = 6

(1,0)

6

(2) (x+1)2+(y-2)2= 9

(-1,2) 3

(3) (x+a)2+y2=a2

(-a,0) |a|

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练*二
求符合下列条件的圆的方程 (1)圆心在(3,2),过点(6,0)

解 :因为圆的半径 rA B(36)2(20)213

所以所求圆的方程是 (x3)2(y2)213

(2)已知点A(2,3),B(4,9), 以线段AB为直径

解:依题意,圆心坐标为(3,6), 圆的 直径为 AB (24)2(39)2210

所以所求圆的方程是
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(x3)2(y6)210

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二、应用举例
例1、求以C(1,3)为圆心,并且和直线3x-4y-7=0 相切的圆的方程.

解:已知圆心C(1,3),因圆心到切线的距离等于半



y

r 31437 16
32 42 5

Cr

O

x

∴所求圆的方程为: x12y32256
25
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例2. 写出圆心为 A(2,3,) 半径长等于5的圆的方 程,并判断点 M1(5,7,) M2( 5,1是) 否在这个 圆上.

解:圆心是 A(2,3,) 半径长等于5的圆的标准

方程是:

(x2)2(y3)225

把 M1(5,7的)坐标代入方程 (x2)2(y3)225 左右两边相等,点M 1 的坐标适合圆的方程,所以点
M 1在这个圆上;
把点 M2( 5,1的)坐标代入此方程,左右两边不 相等,点 M的2坐标不适合圆的方程,所以点 M不2在 这个圆上.
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三、点与圆的位置关系

从上题知道,判断一个点在不在某个圆上,只需将这个点 的坐标带入这个圆的方程,如果能使圆的方程成立,则在这 个圆上,反之如果不成立则不在这个圆上.
怎样判断点 M0(在x0圆,y0) (xa)内2 呢(?y 还b 是)2在圆r2外呢?

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y

M3

o

x

M2 A

M1

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探究:在*面几何中,如何确定点与圆的位置关 系?

M O

M O

M O

|OM|<r 点在圆内
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|OM|=r 点在圆上

|OM|>r 点在圆外

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点与圆的位置关系:

(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内;

(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;

(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外.

M (x0, y0 ) O(a, b)

M (x0, y0 ) O(a, b)

M (x0, y0 ) O (a,b)

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怎样判断点 M0(在x0圆,y0)

(xa)内2 呢(?y 还b是)2在圆r2外呢?

可以看到:点在圆外——点到圆心的距离大于半径 r ; 点在圆内——点到圆心的距离小于半径 r .

y

M3

o

x

M2 A

M1

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例3、求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程

解:设所求圆的方程为: (xa)2(yb)2r2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上

(5 a)2 (1 b)2 r2 (7 a)2 (3 b)2 r2 (2 a)2 (8 b)2 r2
所求圆的方程为

a2



b



3

r 5

(x2)2(y3)225

待定系数法

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例4、求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程 y
A(5,1)
几何方法

O

x

E

B(7,-3)

C(2,-8)

圆心:两条弦的中垂线的交点
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半径:圆心到圆上一点

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例4、求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程 y
A(5,1)
定义方法

O

x

P

B(7,-3)

C(2,-8)
设圆心坐标为P(a,b),半径为r
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例5、 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, -2), 宁夏*罗中学人教A版高中数学必修二课件:4.1.1圆的标准方程
且圆心C在直线上l:x - y+1=0,求圆心为C的圆的标准方程. y

A(1,1) O

弦AB的垂 直*分线
x

C

B(2,-2)

l:xy10

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圆心:两条直线的交点

半径:圆心到圆上一点

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分析:已知道确定一个圆只需要确定圆心的 位置与半径大小.圆心为C的圆经过点A(l1' , 1) 和B(2, -2),由于圆心C与A, B两点l ' 的距离相等, 所以圆心C在线段AB的垂直*分线 上.又圆 心C在直线l 上,因此圆心C是直线l与直线 的 交点,半径长等于|CA|或|CB|.

解:因为A(1, 1)和B(2, -2),所以线段AB的中点D的坐标

( 3 , 1 ), 22

直线AB的斜率: kAB22113

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解: 因此线段AB的垂直*分线 l ' 的方程是

y11(x3) 23 2

即 x3y30

圆心C的坐标是方程组

x 3y 30 x y 10

的解

解此方程组,得

x 3,



y



2.

所以圆心C的坐标是 (3,2)

圆心为C的圆的半径长 r |A| C(13 )2(12 )25

所以,圆心为C的圆的标准方程是 (x3)2(y2)225

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练*三
1、圆心在直线2xy0上,且与直线 xy10 切于点(2,-1), 求圆的标准方程。
x12y222
2、圆心在直线5x3y8上,且与坐标轴相切,
求圆的标准方程。
x42y4216 或 x12y121
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(1) 圆心为C (a,b),半径为r 的圆的标准方程为
(x–a) 2+(y–b)2 = r 2
当圆心在原点时 a=b=0 ,圆的标准方程为:
x 2+ y 2 = r 2 (2) 由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数,
因此必须具备三个独立的条件才能确定圆;
(3)求圆的方程的方法: ㈠找出圆心、半径; ㈡待定系数法。
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1.课本 p124 *题4.1 :A组 3、4。
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四、补充内容 宁夏*罗中学人教A版高中数学必修二课件:4.1.1 圆的标准方程
1. 已知:一个圆的直径的两端点是A(x1,y1) 、B(x2,y2). 证明:圆的方程是 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0

----圆的直径式方程

?P

解法一: 求圆心、求半径

解法二:P点满足PA⊥PB A
即 yy1 yy2 1

? C

B

xx1 xx2

解法三:P点满足 A2P B2P A2B



( ( x x 1 ) 2 ( y y 1 ) 2 ) 2 ( ( x x 2 ) 2 ( y y 2 ) 2 ) 2 ( ( x 1 x 2 ) 2 ( y 1 y 2 ) 2 ) 2

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2. 已知圆的方程是x2 + y2 = r2,求经过圆上一 宁夏*罗中学人教A版高中数学必修二课件:4.1.1圆的标准方程
点 M(x0, y0)的切线的方程。

----圆的切线方程方程

解: 如,图 设切线y 方 y0程 k(x 为 x0) Y

因 半 OM O 径 垂M 的 直于 斜圆 k率 O,M 的 所 为 xy以 切 0k0,线 x0

0

切线y 方 y0 程 x y0 0为 (xx0) y0

整,理 x 0xy0 得 yx 0 2y0 2

x02y02 r2,

所求圆的切线方 x0x程 y为 0yr2
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M(x0, y0)
X

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1.根据条件求圆的方程
(1)已知p1(4,9),p2(6,3),以线段p1 p2为直 径的圆;
(2)以点A(-5,4)为圆心,且与x轴相切的 圆的方程;
(3)圆心为(2,2),与x轴,y轴都相切的圆.
2. 求圆的标准方程(待定系数法) 已知圆心在 yx上且过两点A(2,0)、B(0,-4), 求圆的标准方程。
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解:设圆心坐标为(a,b)则所求圆的标准方程为
xa2yb2r2

∵圆心在 yx上,∴b=-a. ①

又∵圆过A(2,0)、B(0,-4),

∴ 2a2b2r2



a24b2r2



由①②③联立方程组

可得a=3,b=-3,r2 10

∴所求圆的方程为:x32y3210

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1.庄子用“郊祭之牺牛”作比,说明自 己只要 到了楚 国,就 会被楚 国治罪 。 2.从庄周拒绝楚王聘任,可以看出庄 子拒绝 功名利 禄,追 求自由 的精神 。 3.我记得有一句著名的格言是这样的:“ 真理诞 生于一 百个问 号之后 ”。其 实,应该 说,这句 格言本 身也是 真理。 4.这次假期作业能全部完成的同学,充 其量只 能说占 全班的 十分之 二、三,至于完 成的质 量就更 不好说 了。 5.庐冢,也叫“庐墓”,古时为了表示 孝顺父 母或尊 敬师长 ,在他 们死后 服丧期 间,为 守护坟 墓而盖 的屋舍 。 6.古代以山南水北为阴,山北水南为 阳。故 “以其 乃华山 之阳名 之也”中 的“华 山之阳” 是指华 山的北 面。




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